어떤 관측이나 샘플링으로 우리가 시간 $t$에따라 값이 결정되는 함수 $x(t)$를 알고 있다
이제 이걸 $System$이란 상자에 넣는다
자판기에 동전을 넣고 버튼을 누르면 음료수가 나온다.
키보드를 누르면 화면에 글씨가 나온다.
input이 있으면 output이 있다. 그걸 시스템이라고 하자
이제 $y(t)$란 output을 얻었다.
중고등학교때 배운 $y(t)=x(t)$는 지금 여기서 잊어버려라. 시스템을 배우는데 혼돈을 주는 요인이된다.
물리적인 현상에 집중해보자. 현재까지 일어난 일을 정리하면
$x(t)$의 정의 : 시간 $t$에 따라 결정되는 $Input, 우리는 이걸 미리 알고 있다.$
$y(t)$의 정의 : $System$에 입력을 받아서 시간$t$에따라 결정된 $Output$
오로지 정의에 따라서 생각 해보자.
간단하게 $t=-1$ (과거), $t=0$ (지금) , $t=1$ (미래) 라고 생각해보자
$x(0)$ 이면 지금에서 input이다. $x(t)$ 정의 자체가 시간 t에서 Input이라고 했다.
$x(-1)$ 이면 과거에서 input이다.
$x(1)$ 이면 미래에서 input이다.
여기까지가 준비 이제 이걸로 시스템의 6가지 성질을 알아보자.
시스템은 Input과 Output을 =로 연결해주는 역할을 한다. 어떻게 연결하는지는 시스템 마음이다.
$y(t) = x(t+5)$ 이녀석은 어떤 시스템일까? 해석해보자 지금(t=0) 과거(t=-1) 미래(t=1) 각각에 대하여
$$y(0) = x(0+5)$$
현재의 결과값 $y(0)$이 $x(5)$이다. 즉, 현재의 아웃풋이 t=5초일때 인풋으로 결정된다는 말과 같다.
$x(5)$는 미래의 입력값이다.
$$y(-1) = x(-1+5)$$
$$y(1) = x(1+5)$$
마찬가지로 과거의 값이 미래 입력을 받아서 결정된다. 미래의 값또한 미래입력에 대해서 결정된다.
몇가지 예제를 보자
$$y(t)=x(2t)$$
$t=0$일때, $y(0)=x(0)$ , $t=0$과 $x(0)$ 시점이 같다
$t=-1$일때, $y(-1)=x(-2)$ , $t=-1$과 $x(-2)$ 시점이 다르다.
$t=1$일때, $y(1)=x(2)$ , $t=-2$와 $x(2)$ 시점이 다르다.
무조건 괄호안의 숫자만 보고 판단한다.
$$y(t)=x(-t)$$
$t=0$일때, $y(0)=x(0)$ 아웃풋이 현재 인풋으로 정해진다. $t=0$과 $x(0)$ 시점이 같다.
$t=-1$일때, $y(-1)=x(1)$ 아웃풋이 미래 인풋으로 정해진다. $t=-1$과 $x(1)$이 시점이 다르다.
$t=1$일때, $y(1)=x(-1)$ 아웃풋이 과거인풋으로 정해진다. $t=1$과 $x(-1)$이 시점이 다르다.
$$y(t)=sin(2t)\times x(t)$$
$t=0$일때, $y(0)=sin(2\times 0)\times x(0)$ , $t=0$과 $x(0)$이 시점이 같다.
$t=-1$일때, $y(-1)=sin(2\times -1)\times x(-1)$ , $t=-1$과 $x(-1)$이 시점이 같다.
$t=1$일때, $y(1)=sin(2\times 1)\times x(1)$ , $t=1$과 $x(1)$이 시점이 같다.
$$y(t)=e^{-x(t)-t}$$
이제 눈치 챘으면 안해봐도 $t=-1,0,1$ 일때 $x(-1),x(0),x(1)$ 인풋으로 그 시간의 입력값을 받것을 알 수 있을것이다.
앞에 무엇이 곱해졌건 어떤 형태를 띄건간에 그건 시스템이 결정하는 일이고 우리는 그 시스팀이 어떤 인풋을 받아서 t=? 일때 값을 결정하는지만 관심있다.
$$y(t)=\int^t_{-\infty}x(t)dt$$
하지만 무작정 $x(t)$만보고 달려들면 안된다. 항상 의미를 잘 생각해야한다. 이 시스템은 어떻게 될까?
편의상 아래와 같은 x(t)가 있다고 생각해보자
t=-4이거나 그보다 작을때는 적분값이 0이므로 아웃풋이 0이 될것이다.
t=0이면? 적분값은 3.5가 될것이다.
t가 1정도 왔다고 해보자 3.5+ 0부터1까지의 x(t) 값을 모두 더한게 y(1)이 될것이다.
이 시스템은 y(1)=y(0)+x(0.1)+...+x(0.2)+...+x(0.3)+...x(0.9)+... 과거의 인풋으로 현재 값이 결정된다.
이제 다 알아봤다. 특징을 구분할 수 있는 눈을 가졌으니 특징이 어떤것들이 있는지 살펴보자.
1. 첫번째 특징 Static and Dynamic (Memoryless / Memory)
아웃풋이 오직 현재의 입력에만 의존한다. $sin(-3t)$가 곱해지건 $e^{-1/t}$가 곱해지건 $t=T$일때 오직 인풋$x(T)$에만 관계되면 이를 Static 시스템(=Memoryless System)이라고 한다.
2. 두번째 특징 Casual
아웃풋이 오직 현재까지의(지금보다 과거도 됨) 입력에만 의존한다. 즉 $t=T$일때 $x(T+k) ,(k>0)$의 인풋을 요구하지 않는다. 어떤 아웃풋이건 현재나 과거에 입력이 있었다고 생각하면 좋다.
3. 세번째 특징 Time invarient
시스템이 시간에따라 변하지 않는다.
이를 직관적으로 이해하려면 시스템과 아웃풋 인풋을 나눠서 생각 할 필요가 있다.
아웃풋은 $y(t)$ 인풋은 $x(t)$ 그리고 그 둘을 $=$로 연결해주는게 시스템이라고 했다.
$$y(t)=x(2t)$$
$$y(t)=e^t\times x(2t)$$
다음 두가지 경우를 생각해보자. 첫번째 시스템은 $t=1$ 일때 $y=x(2)$ 이고 $t=1-1=0$ 일때 $y(0)=x(0)$ 이다.
두번째 시스템은 어떤가? $t=1$일때 $y=e*x(2) = 2.718..\times x(2)$ $t=1-1$일때 $y(0)=x(0)$이다.
t와 input 관계는 두 시스템 모두 동일하지만 Output과 t의 관계에서 차이가 있다.
간단하게 생각해서 $x(t)=1$이라고 해보자 모든 $t$에대해서 인풋은 항상 1로 결정된다.
시스템1에서는 어떤 $t$를 집어넣어봐도 (=인풋을 언제 넣더라도) 아웃풋이 항상 동일하다
반면 시스템2에서는 $x(t)$의 값과는 상관없이 시간 $t$가 크거나 작아짐에 따라서 아웃풋이 변해버린다.
시스템 1을 TI 시스템2를 TV(time varying)이라고 한다.
더 직관적으로 이해하자면 자판기가 있다. 내가 오후 1시에 자판기에 1000원을 넣어도 음료수는 1개가 나오고 오후 4시 오후11시에 넣어도 음료수는 여전히 1개가 나올것이다. 오로지 인풋만 시간항에 관계하면 Ti 이다.
그렇지만 택시는 어떤가? 낮에 택시를 타면 4800원이지만 밤 11시에 타면 5300원이 기본요금이다.
특정시간 $t=0$에만 $x(t)=1$ 이 되는 인풋이있다고 하자 ( $x(t)=1$일때 무언가를 5000원주고 해야지)
입력을 시간지연 시켜서 $x(t-오후1시)$, $x(t-오후4시)$, $x(t-오후11시)$
시스템 $T( 자판기, 택시)$ 에 들어 갔더니
아웃풋 $y( 음료수 5개, 이동거리 다름)$ 일정하면 $TI$ 일정하지 않으면 $TV$
식으로 쓰면
$$y(t)=T[x(t)]이면\;\, T[x(t-t_{0})] = y(t-t_{0}) 이다\;\, for\;\, \forall \,t_{1},t_{2} \in t$$